Числовые последовательности Преобразование графиков функций

Предел последовательности Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число то говорят, что задана числовая последовательность Свойства сходящихся последовательностей

Числовую последовательность { a n }, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d , называют арифметической прогрессией .

Числовую последовательность { b n }, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q  ≠ 0, называют геометрической прогрессией

Декартова система координат Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат . В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат. Координаты точки в декартовой системе координат.

Полярная и сферическая системы координат Полярные координаты легко преобразовать в декартовы

Понятие числовой функции Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой. Пусть функции y  =  g  ( x ) и z  =  f  ( y ) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g . Для того, чтобы кривая на декартовой координатной плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке. Согласно этому определению окружность, например, не может быть графиком никакой функции, так как некоторым значениям x точек, принадлежащих этой кривой (например, абсциссе центра окружности), соответствуют два значения y .

Четность функций

Нули функции Рассмотрим вопрос о нахождении нулей функции и промежутков, где функция сохраняет знак. Периодические функции

Монотонность функций Функция f  ( x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2, выполняется неравенство f ( x 1 ) < f ( x 2 ). Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

  • Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
  • Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
  • Если функция f возрастает, то функции cf ( c  > 0) и f  +  c также возрастают, а функция cf  ( c  < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
  • Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
  • Если функция f возрастает и неотрицательна, то где , также возрастает.
  • Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f   n также возрастает.
  • Композиция g  ( f  ( x )) возрастающих функций f и g также возрастает.

    Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является. Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

    Преобразование графиков функций

    Параллельный перенос Пусть имеется график функции y  =  f  ( x ). Зададимся целью построить график функции y  =  f 1  ( x ), где f 1  ( x ) =  f  ( x ) +  B . Ясно, что области определения этих функций совпадают. Пусть A  ( x 0 ;  y 0 ) – точка на графике функции y  =  f  ( x ). Соответствующая ей точка A ′ ( x 0 ;  y 1 ) с той же абсциссой имеет координаты A ′ ( x 0 ;  y 0  +  B ).

    Сжатие (растяжение) графика к оси OX задается с помощью системы уравнений

    Отражение относительно осей и точек Пусть имеется график функции y  =  f  ( x ). Чтобы получить график функции, симметричный данному относительно оси OX , нужно умножить значение функции в каждой точке области определения на –1. Алгебраически это задается системой:

    Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами. Приведем для примера графики функций y  =  x  + sin  x и y  =  x  sin  x , являющихся соответственно суммой и произведением графиков y  =  x и y  = sin  x .

    Линейная функция

    Прямая пропорциональность Рассмотрим следующую задачу. Мотоцикл движется со скоростью 50 км/ч. Построить график зависимости расстояния, пройденного автомобилем, от времени за первые 6 часов движения.

    Функция y  =  kx  +  b называется линейной функцией . Ее график получается путем параллельного переноса графика функции y  =  kx на b вверх, если b  > 0, и на | b | вниз, если b  < 0. Кроме того, если k  ≠ 0, то Значит, график функции y  =  kx  +  b получится из графика y  =  kx сдвигом на Уравнение прямой

    Квадратный трехчлен

    Квадратичной называется функция вида y  =  ax 2  +  bx  +  c , где a  ≠ 0, b , c – любые действительные числа. Уравнение ax 2  +  bx  +  c  = 0, где a  ≠ 0, называется квадратным уравнением . График функции при a  ≠ 0 называется параболой . Рассмотрим сначала функцию Областью определения этой функции являются все Решив уравнение получим x  = 0. Итак, единственный нуль этой функции x  = 0. Функция является четной (для любых ось OY является ее осью симметрии.

    Тригонометрическими называются функции вида y  = sin  x , y  = cos  x , y  = tg  x , y  = ctg  x и их комбинации.

    Синус и косинус Положение точек на координатной окружности можно задавать не только длиной дуги, но и декартовыми координатами. Построим декартову систему координат с центром в точке O , осью абсцисс, проходящей через начало отсчета A  (0), и осью ординат, проходящей через точку За единицу отсчета возьмем радиус этой окружности. Декартовы координаты точки M  ( x ) единичной окружности называются косинусом и синусом числа x : M  ( x ) =  M  (cos  x ; sin  x ). Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора): sin 2   x  + cos 2   x  = 1

    Тангенсом угла x называется отношение синуса этого угла к косинусу этого же угла. Котангенсом угла x называется отношение косинуса этого угла к синусу этого же угла:

    Обратные тригонометрические функции

    Дробно-линейная функция

Центральный процессор персонального компьютера Импорт файлов ArchiCAD