Математика примеры решения задач

Периодические функции

Функция f  ( x ) называется периодической с периодом T  ≠ 0, если выполняются два условия:

• если , то x  +  T и x  –  T также принадлежат области определения D  ( f  ( x ));
• для любого выполнено равенство f  ( x  +  T ) =  f  ( x ).

Поскольку то из приведенного определения следует, что f  ( x  –  T ) =  f  ( x ).

Если T – период функции f  ( x ), то очевидно, что каждое число nT , где , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T , являющихся периодом данной функции.

График 1.3.4.1.

График периодической функции обычно строят на промежутке [ x ₀ ; x ₀ + T ), а затем повторяют на всю область определения.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x , y =  cos x (период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T  ≠ 0.

Рисунок 1.3.4.1.

Не следует думать, что периодическими бывают только тригонометрические функции. Функция y  = [ x ], где [ x ] – целая часть числа x (наибольшее целое число, не превосходящее x ) позволяет определить функцию y  = { x }, где { x } – дробная часть числа x . По определению { x } =  x  – [ x ] (например, {3,7} = 0,7, {–6} = 0, {–4,2} = –4,2 – (–5) = 0,8). Дробная часть числа – функция с периодом T  = 1. 

В заключение отметим свойства периодических функций.

• Если f  ( x ) – периодическая функция с периодом T , то функция g  ( x ) =  A  ·  f  ( kx  +  b ), где k  ≠ 0 также является периодической с периодом .
• Пусть функции f ₁ ( x ) и f ₂ ( x ) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T ₁ > 0 и T ₂ > 0. Тогда если то функция периодическая с периодом T , равным наименьшему общему кратному чисел и