В лекции дается определение числовой последовательности и её предела Вводится понятие сходимости последовательности. Рассматриваются основные свойства пределов. Вводятся и рассматриваются на примерах понятия бесконечно малой, бесконечно большой, возрастающей, убывающей и фундаментальной последовательностейПериодические функции
Функция f ( x ) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:
- если
, то x + T и x – T также принадлежат области определения D ( f ( x ));
- для любого
выполнено равенство f ( x + T ) = f ( x ).
Поскольку
то из приведенного определения следует, что f ( x – T ) = f ( x ).
Если T – период функции f ( x ), то очевидно, что каждое число nT , где
, n ≠ 0, также является периодом этой функции.
Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T , являющихся периодом данной функции.
![]()
График 1.3.4.1.
График периодической функции обычно строят на промежутке [ x 0 ; x 0 + T ), а затем повторяют на всю область определения.
Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x , y = cos x (период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0.
![]()
Рисунок 1.3.4.1.
Не следует думать, что периодическими бывают только тригонометрические функции. Функция y = [ x ], где [ x ] – целая часть числа x (наибольшее целое число, не превосходящее x ) позволяет определить функцию y = { x }, где { x } – дробная часть числа x . По определению { x } = x – [ x ] (например, {3,7} = 0,7, {–6} = 0, {–4,2} = –4,2 – (–5) = 0,8). Дробная часть числа – функция с периодом T = 1.В заключение отметим свойства периодических функций.
- Если f ( x ) – периодическая функция с периодом T , то функция g ( x ) = A · f ( kx + b ), где k ≠ 0 также является периодической с периодом
.
- Пусть функции f 1 ( x ) и f 2 ( x ) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T 1 > 0 и T 2 > 0. Тогда если
то функция
периодическая с периодом T , равным наименьшему общему кратному чисел
и