История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Числовые последовательности

Математика примеры решения задач

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел.

Свойства сходящихся последовательностей

Последовательность { x n } называется ограниченной снизу ( сверху ), если существует такое число C , что все члены последовательности удовлетворяют условию x n  ≥  C ( x n  ≤  C ). Последовательность, ограниченную как сверху, так и снизу, называют ограниченной .

Рисунок 1.1.2.1.

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все ее значения лежат на некотором отрезке.

Можно показать, что если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Заметим, что не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Примером расходящейся ограниченной последовательности может служить последовательность { x n }: x n  = (–1) n .

Теорема о трех последовательностях . Если последовательности { x n }, { y n }, { z n } таковы, что x n ≤ y n ≤ z n для всех n  ≥  N , и то последовательность { y n } сходится, и

Если и для любого то a  ≥  b .

Любая неубывающая ограниченная сверху последовательность сходится.

Любая невозрастающая ограниченная снизу последовательность сходится.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей { x n } и { y n } называют соответственно последовательности { x n  +  y n }, { x n  –  y n }, { x n ∙ y n }, { x n  /  y n }. При определении частного предполагается, что y n  ≠ 0 при всех n .

Справедлива следующая теорема (основная теорема теории пределов): если то: ;

Последовательность {α n } называется бесконечно малой , если

Если число a – предел последовательности { x n }, то последовательность {α n }, где α n  =  x n  –  a , бесконечно малая. Примером бесконечно малой последовательности является геометрическая прогрессия { q n }, где | q | < 1.

Множества и называются δ-окрестностями –∞ и +∞ соответственно.

Определим понятие бесконечного предела. Говорят, что , если для любого R  > 0 существует такой, что при

Последовательность { x n } называется бесконечно большой , если Другими словами, , если для любого δ > 0 найдется номер такой, что для любого Аналогично вводятся понятия бесконечных пределов +∞ и –∞. Примерами бесконечно больших последовательностей могут служить { n 2 } или {1 –  n }.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел
Учебник Основы теории изображения фигур на плоскости