История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Числовые последовательности

Математика примеры решения задач

Формулируется признак Вейерштраса и критерий Коши сходимости последовательности. В лекции даётся определение числового ряда и его сходимости. Рассматриваются примеры сходящихся и расходящихся рядов. Доказывается необходимое условие сходимости числового ряда.

Квадратное уравнение

Уравнение ax 2  +  bx  +  c  = 0, где a  ≠ 0, называется квадратным уравнением .

Выделив полный квадрат, получим уравнение Если то отсюда следует, что или

Мы получили формулу корней квадратного уравнения ( формулу Виета ).

Рисунок 2.2.2.1.

При D  > 0 существуют два корня x 1 и x 2. При D  = 0 корни квадратного уравнения совпадают: x 1 = x 2. Наконец, при D  < 0 равенство невозможно, и корней у квадратного уравнения не существует.

Если D  ≥ 0, то квадратичную функцию можно разложить на множители: Таким образом y  =  a  ( x  –  x 1 ) ( x  –  x 2 ), где Если D  = 0, то

Если D  < 0, то квадратный трехчлен нельзя разложить на множители.

Модель 2.5. Движение по параболе.

Теорема Виета. Для того чтобы числа x 1 и x 2 были корнями уравнения ax 2  +  bx  +  c  = 0 ( a  ≠ 0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:

Доказательство
  1. Необходимость. Пусть числа и являются корнями уравнения ( a  ≠ 0). Тогда Имеем

  2. Достаточность. Пусть имеется система Из первого равенства Подставляя это значение во второе равенство, получим откуда Значит, число является корнем квадратного уравнения Аналогично доказывается, что – также корень этого уравнения.

Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.
Учебник Основы теории изображения фигур на плоскости