История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Числовые последовательности

Математика примеры решения задач

Формулируется признак Вейерштраса и критерий Коши сходимости последовательности. В лекции даётся определение числового ряда и его сходимости. Рассматриваются примеры сходящихся и расходящихся рядов. Доказывается необходимое условие сходимости числового ряда.

Синус и косинус

Положение точек на координатной окружности можно задавать не только длиной дуги, но и декартовыми координатами. Построим декартову систему координат с центром в точке O , осью абсцисс, проходящей через начало отсчета A  (0), и осью ординат, проходящей через точку За единицу отсчета возьмем радиус этой окружности. Декартовы координаты точки M  ( x ) единичной окружности называются косинусом и синусом числа x : M  ( x ) =  M  (cos  x ; sin  x ).

Модель 2.9. Координатная окружность.

Для определение синуса и косинуса совпадает с геометрическим определением этих понятий, заданных при помощи прямоугольного треугольника OPM . В этом случае

Так как координаты точек окружности единичного радиуса по модулю не превосходят 1, то |cos  x | ≤ 1, |sin  x | ≤ 1.

Таким образом, областью значений обеих функций является отрезок [–1; 1].

Ниже приведены значения косинуса и синуса для некоторых значений x :

x 0 030°45°60°90°180°270° sin  x 0 10–1 cos  x 1 0–10 Таблица 2.3.2.1.

Функция sin  x обращается в нуль при x  = π n , функция cos  x обращается в нуль при

График 2.3.2.1. Функции s in   x и cos  x непрерывны на всей области определения. Они периодичны; их основной период равен 2π.

Промежутки монотонности и знакопостоянства: Функция sin  x Неотрицателен, возрастает от 0 до 1 Неотрицателен, убывает от 1 до 0 Неположителен, убывает от 0 до –1 Неположителен, возрастает от –1 до 0 cos  x Неотрицателен, убывает от 1 до 0 Неположителен, убывает от 0 до –1 Неположителен, возрастает от –1 до 0 Неотрицателен, возрастает от 0 до 1 Таблица 2.3.2.2.

Синус достигает максимума в точках и минимумы в точках Косинус достигает максимума в точках x max = 2π n , минимума – в точках x min = π + 2π n .

Функция sin  x нечетна, функция cos  x четна:

cos (– x ) = cos  x sin (– x ) = –sin  x

Формулы приведения, позволяющие свести тригонометрические функции от любого аргумента к функциям от углов из промежутка :

cos ( x  + π) = –cos  x cos (π –  x ) = –cos  x sin ( x  + π) = –sin  x sin (π –  x ) = sin  x
Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.
Учебник Основы теории изображения фигур на плоскости