История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Числовые последовательности

Математика примеры решения задач

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел.

Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность { a n }, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d , называют арифметической прогрессией . Число d называется разностью арифметической прогрессии : a n  + 1  =  a n  +  d .

Так как a n  – 1  =  a n  –  d , то a n  + 1  +  a n  – 1  = 2 a n . Верно и обратное.

Последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда для любого n  > 1 выполняется рекуррентное соотношение

Формула общего члена арифметической прогрессии { a n } такова: a n  =  a 1  + ( n  – 1) ·  d .

Доказательство

Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что для n  = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n  =  k . Докажем ее справедливость для n  =  k  + 1. Имеем a k  + 1  =  a k  +  d  =  a 1  + ( k  – 1) ·  d  +  d  =  a 1  +  k  ·  d . Теорема доказана.

Модель 1.1. Растущее дерево.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии { a n } равна

Обе формулы легко доказать, используя метод математической индукции. Выполните это самостоятельно.

 

 

 

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел
Учебник Основы теории изображения фигур на плоскости