История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Числовые последовательности

Математика примеры решения задач

Основной упор сделан на сходимость рядов с положительными членами. Дано необходимое условие сходимости ряда . Описаны достаточные признаки сходимости рядов : признак сходимости Даламбера, радикальный признак сходимости Коши, интегральный признак сходимости Коши, признак сходимости Раабе, первый признак сравнения, второй признак сравнения и третий признак сравнения рядов

Гиперболические функции

Функция называется гиперболическим синусом . Функция называется гиперболическим косинусом .

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.

Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке (–∞; 0) и возрастающей на промежутке (0; +∞). Точка (0; 1) является минимумом этой функции.

График 2.4.5.1.

По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс :

Тангенс определен на всей числовой оси, котангенс – при всех x  ≠ 0 ( ). Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные асимптоты y  = –1 (при x  → –∞) и y  = 1 (при x  → +∞).

График 2.4.5.2.

Приведем некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.

sh  x + ch  x e x ch 2   x  – sh 2   x  = 1 ch 2 x  = ch 2   x  + sh 2   x sh 2 x = 2 sh  x ch  x sh ( x  +  y ) = sh  x  ch  y  + ch  x  sh  y ch ( x  +  y ) = ch  x  ch  y  + sh  x  sh  y

Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh  x и arth  x . У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch x при x  ≤ 0 и arch + x при x  ≥ 0.

График 2.4.5.3. График 2.4.5.4.


В заключение приведем формулы для обратных гиперболических функций:

| x | < 1, x  ≥ 1, x  ≥ 1.

Основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций: преобразование симметрии, параллельный перенос, сжатие и растяжение. Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций.
Учебник Основы теории изображения фигур на плоскости