История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Числовые последовательности

Математика примеры решения задач

Теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Понятие экстремума функции и его значение в исследовании поведения. Интервалы выпуклости и вогнутости функции, определение ее асимптот и схема изучения.

Решение систем уравнений и неравенств

Система уравнений с двумя переменными.

Пусть задана система уравнений Ее решением является совокупность пар чисел ( x i y i ), подстановка которых в каждое из уравнений превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости кривые, задаваемые уравнениями f  ( x y ) = 0 и g  ( x y ) = 0. Тогда можно сказать, что геометрически решением системы уравнений является совокупность всех точек M i ( x i y i ), в которых пересекаются кривые, задаваемые этими уравнениями.

Если кривые не пересекаются, то система уравнений решений не имеет. В этом случае говорят, что система несовместна.

Систему геометрически можно представить как совокупность точек, в которых пересекаются три кривые f  ( x y ) = 0, g  ( x y ) = 0 и h  ( x y ) = 0. Если не существует точки, в которой пересекаются все три кривые, то система также несовместна.

Аналогичным образом уравнение f  ( x y z ) = 0 задает поверхность в трехмерной декартовой системе координат. Геометрически решением системы уравнений будет совокупность координат точек M i  ( x i y i z i ), в которых пересекаются поверхности, задаваемые этими уравнениями.

Так, уравнения x 2  +  y 2  +  z 2  = 1, y  = 0, z  = 0 задают в пространстве сферу единичного радиуса с центром в начале координат и две координатные плоскости, перпендикулярные соответственно оси ординат и оси аппликат. Плоскость z  = 0 пересекает сферу по окружности x 2  +  y 2  = 1, лежащей в плоскости z  = 0. Плоскость y  = 0 пересекает эту окружность в двух точках с координатами M 1  (–1; 0; 0) и M 2  (1; 0; 0). Таким образом, решением системы уравнений являются две тройки чисел (±1; 0; 0).

 

 

График 2.5.3.3.

Иногда при решении задач графики могут ввести в заблуждение. Так, на эскизе кажется, что графики функций y  = (1/16) x и y  = log 1/16   x пересекаются только в одной точке, лежащей на биссектрисе первого координатного угла. И только при более внимательном рассмотрении у уравнения (1/16) x  = log 1/16   x находятся еще два корня x  = 1/2 и x  = 1/4. Увеличьте масштаб графика, чтобы убедиться в этом.

Кривая f  ( x y ) = 0 делит координатную плоскость на несколько областей, внутри каждой из которых функция f сохраняет знак. Для решения неравенства f  ( x y ) > 0 графическим методом необходимо в каждой из таких областей взять пробную точку и вычислить ее знак, после чего отобрать области, в которых функция f принимает положительные значения. Присоединяя к полученному решению саму кривую, получим решение неравенства f  ( x y ) ≥ 0.

Чтобы решить графически систему нужно изобразить на координатной плоскости решения каждого из неравенств f  ( x y ) > 0, g  ( x y ) > 0, а затем найти их пересечение. Аналогичным образом поступают, если неравенств больше двух.

Если известен график функции , то с помощью некоторых преобразований плоскости (параллельного переноса, осевой и центральной симметрии и т.п.) можно построить график более сложных функций вида
Проститутки район Северное Медведково источник.
Профессиональный Сканер цена, предшественники серии launch x431 master.
Учебник Основы теории изображения фигур на плоскости