История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Числовые последовательности

Математика примеры решения задач

Теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Понятие экстремума функции и его значение в исследовании поведения. Интервалы выпуклости и вогнутости функции, определение ее асимптот и схема изучения.
Точка, прямая

Поскольку каждая геометрическая фигура состоит из точек, можно говорить о точках, принадлежащих геометрической фигуре (то есть о точках, из которых она состоит) и не принадлежащих ей. Для обозначения точек будем использовать заглавные буквы латинского алфавита: A , B , ..., Z , а для обозначения прямой – строчные буквы: a , b , ..., z . Кроме того будем использовать обозначение ( AB ) для прямой, проходящей через две заданные точки A и B .

Так, о точке A , принадлежащей прямой a , говорят, что точка A лежит на прямой a . Так же правильно будет, если скажут, что прямая a содержит точку A или прямая a проходит через точку A . А о точке B , не принадлежащей прямой a , говорят либо, что точка B не лежит на прямой a , либо, что прямая a не содержит точку B , либо, что прямая a не проходит через точку B .

Для того чтобы говорить о той или иной геометрической фигуре, мы должны уметь отличать одну фигуру от другой. Это можно сделать, если, например, мы сможем описать такие ее свойства, которые присущи только данной фигуре и которыми не обладает более ни одна другая фигура.

Рисунок 1.1.1.

Часть свойств прямой, которые позволят определить ее таким образом, задаются с помощью следующих двух аксиом:

Аксиома 1.1. 

Каква бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома 1.2. 

Через произвольные две точки можно провести прямую и притом только одну.

Описав частично свойства прямой, мы можем уже сделать некоторые заключения. Например, выберем две точки. По аксиоме 1.2 эти две точки задают единственную прямую a . Выберем теперь еще две точки так, чтобы хотя бы одна из них (пусть это будет точка A ) не лежала на заданной прямой a . Это можно сделать по аксиоме 1.1. Вторая пара точек также определяет прямую. Обозначим ее b . Прямые a и b разные прямые, потому, что прямая b содержит точку A , которая не принадлежит прямой a . Таким образом, исходя из данных свойств прямой, мы путем рассуждений смогли сделать вывод, что на плоскости существует не одна прямая. Значит, можно приступить к изучению, например, их взаимного расположения на плоскости.

Если известен график функции , то с помощью некоторых преобразований плоскости (параллельного переноса, осевой и центральной симметрии и т.п.) можно построить график более сложных функций вида
Учебник Основы теории изображения фигур на плоскости