История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Графические методы решения задач

Математика примеры решения задач

При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.

Параллельность двух плоскостей

Определение 2.5. 

Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Теорема  2.6. Признак параллельности плоскостей.

Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Доказательство

Чертеж 2.3.1.

Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a  || α и b  || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c . Поскольку a  || α, то по теореме о следе  c  ||  a . Аналогично получаем, что c  ||  b , тогда a  ||  b . Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются

Теорема 2.7. 

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то она оставляет на этих плоскостях параллельные следы.

Чертеж 2.3.2.

Доказательство

Пусть α и β параллельны, γ – третья плоскость, которая пересекает их, причем α   γ  =  a , β   γ  =  b . Таким образом, a и b – следы плоскости γ на плоскостях α и β. Прямые a и b лежат в одной плоскости γ и не имеют общих точек, так как общих точек не имеют плоскости α и β. Следовательно, a  ||  b .

Теорема 2.8. 

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 2.9. 

Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны.

Чертеж 2.3.3.

Теорема 2.10. 

Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

Доказательство

Чертеж 2.3.4.

На чертеже 2.3.4 показаны углы BAC и B 1 A 1 C 1, причем AB  ||  A 1 B 1 и AC  ||  A 1 C 1. По признаку параллельности плоскостей плоскость BAC параллельна плоскости B 1 A 1 C 1.

Пусть соответствующие отрезки на сторонах угла равны: AB  =  A 1 B 1 и AC  =  A 1 C 1. Проведем прямые AA 1, BB 1, CC 1. Четырехугольник ABB 1 A 1 – параллелограмм, так как AB  =  A 1 B 1 и AB  ||  A 1 B 1, следовательно, AA 1  =  BB 1 и AA 1  ||  BB 1. Аналогично докажем, что AA 1  =  CC 1. Отсюда следует, что BB 1  =  CC 1 и BB 1  ||  CC 1, следовательно, CBB 1 C 1 – параллелограмм и CB  =  C 1 B 1. Теперь утверждаем, что Δ  ABC  =  Δ  A 1 B 1 C 1, откуда

  BAC  =  

  B 1 A 1 C 1.

Геометрический способ решения стандартных задач линейного программирования с двумя переменными. Универсальный метод решения канонической задачи. Основная идея симплекс-метода, реализация на примере. Табличная реализация простого симплекс-метода.
Учебник Конические сечения