Пример Дифференцирование функций, заданных неявно
tg(x+y) = xy
Продифференцируем обе части по х. Получим
или
. Отсюда
или
. Окончательно
.
Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство
y' = g(x, y) (2)
Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y'.
Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.
Пример. х2+у2-1=0. Найти у''.
Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу' = 0, откуда у' = -
. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим
или
. Подставим
, вместо у'.
.
Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.
Учебник
Высшая математика примеры решения задач