Математика примеры решения задач контрольной работы

Пример Дифференцирование функций, заданных неявно 

tg(x+y) = xy

Продифференцируем обе части по х. Получим   или . Отсюда или . Окончательно .

Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство

y' = g(x, y) (2)

Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y'.

Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.

Пример. х²+у²-1=0. Найти у''.

Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу' = 0, откуда у' = -. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим   или . Подставим , вместо у'. .

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.
Учебник Высшая математика примеры решения задач