История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Пределы и непрерывность функции Векторная алгебра

Математика примеры решения задач контрольной работы

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями:

x = x(t), y = y(t), tÎ(a;b).

Предположим, что функции x(t), y(t), имеют производные на (a;b) и функция x(t) имеет обратную функцию t = g(х), которая также имеет производную в соответствующих точках х. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у от х можно рассматривать как сложную функцию y = y(t), t = g(х), t – промежуточный аргумент. По правилу дифференцирования сложной функции получаем y'x = y't t'x = y't g'x. По теореме о дифференцировании обратной функции g'x = . Учитывая это, получаем y'x =.

Если существует у''х, то рассуждая аналогично, получаем

Вообще,   при условии, что все производные существуют.

Пример. x = cos3t, y=sin3t. Вычислить у''х. x't = – 3cos2t sint, y't=3sin2tcost, поэтому   . Тогда .

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.
Учебник Высшая математика примеры решения задач