Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы
Решение. Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы системы
Умножив первую строку матрицы на –3, сложим ее со второй и третьей строками, а, умножив на –2, сложим ее с четвертой строкой.
Тогда имеем
Сложим теперь вторую строку этой матрицы с третьей и вычтем ее из четвертой:
Так
как расширенная матрица системы 
и матрица системы А содержат три ненулевых строки, то 
Система совместна и, так как ранг матрицы 
меньше числа неизвестных системы, то система
имеет множество решений.
Выберем в качестве базисного минора
Тогда неизвестные х2, х3, х4 – базисные, а х1 и х5 – свободные. Укороченная система имеет вид
Положим х1=с1, х5=с2. Тогда система примет вид
Так как х4=0, то из второго уравнения этой системы х3=3-4с2.
Подставляя х4 и х3 в первое уравнение, получим
Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид
