История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Пределы и непрерывность функции Векторная алгебра

Математика примеры решения задач контрольной работы

 Все элементарные функции непрерывны в области определения. Так что  всюду непрерывна, так как всюду определена, а, например, функция  разрывна в точке .

  Дадим теперь классификацию точек разрыва функций. Возможны следующие случаи.

  1.Если  и  существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку  называют точкой разрыва первого рода. При этом величину  называют скачком функции в точке .

 Пример 13. Исследовать на непрерывность функцию . Поверхностный интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности).

 Решение. Эта функция может претерпевать разрыв только в точке 0, где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

  Найдем левосторонний предел функции при . Слева от точки 0, то есть при   , а .

  Справа от точки 0 . Тогда = . Значение функции в точке 0 равно нулю, то есть . Функция в точке 0 имеет разрыв первого рода. Это видно на графике функции.

  2.Если в точке   , но в точке  функция  либо не определена, либо , то точка  является точкой устранимого разрыва. Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив , то получится непрерывная в точке  функция.

Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x0 функция имеет максимум.
Учебник Высшая математика примеры решения задач