История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Пределы и непрерывность функции Векторная алгебра

Математика примеры решения задач контрольной работы

 Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, то есть  Тогда существует точка  такая, что

  Проиллюстрируем теорему:

Из рисунка видно, что функция имеет три нуля, то есть три точки, в которых она обращается в нуль. Производная функции Основные правила нахождения производной

 Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения . Тогда, каково бы ни было число  между числами , найдется точка  в интервале  такая, что .

Теорема 1 Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она на этом отрезке ограничена, то есть существуют числа m и М такие, что m М для любого .

 Теорема 2 Вейерштрасса. Если функция  определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений (то есть существуют такие   на отрезке [a,b], что для любого

Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x0 функция имеет максимум.
Учебник Высшая математика примеры решения задач