История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Пределы и непрерывность функции Векторная алгебра

Математика примеры решения задач контрольной работы

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба  (рис. 39).

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим r = ОМ – расстояние точки М от полюса,  – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа r и j называются полярными координатами точки М, r – полярный радиус, j – полярный угол точки М. По определению r ³ 0. Задание пары чисел (r, j) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение j пределами 0 £ j < 2p (или -p < j £ p), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел (r, j). Исключение составляет полюс, для которого r = 0, а угол j не определен. Интегралы и их приложения Пример Найти Математика лекции и задачи

Рис. 39

Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси Ор (рис.40). Тогда полярные координаты (r, j) и декартовы координаты (х, у) точки М связаны соотношениями:

(2.25)

(2.26)

Из этих формул следует:

(2.27)

Рис. 40

Формула для tgj определяет два угла j и j + p в промежутке [0; 2p). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (2.27).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо х, у подставить в уравнение их выражения из формул (2.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (2.26), (2.27).

Предел функции Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a.
Учебник Инженерная графика Высшая математика