Метод узловых и контурных уравнений Линейные электрические цепи

Метод узловых потенциалов

Теоретическая база метода узловых потенциалов – 1-ый закон Кирхгофа в сочетании с потенциальными уравнениями ветвей. В этом методе потенциал одного из узлов схемы принимают равным нулю, а потенциалы остальных (n-1) узлов считают неизвестными, подлежащими определению. Общее число неизвестных составляет (n-1).

Рассмотрим обобщенную ветвь некоторой сложной схемы (рис. 18).

 

Свяжем потенциалы концов ветви (узлов) между собой через падения напряжений на отдельных участках:

 или 

Уравнение, связывающее потенциалы конечных точек ветви через падения напряжений на ее отдельных участках, называется потенциальным уравнением ветви.

Из потенциального уравнения ветви могут быть определены ток ветви и напряжение на резисторе:

.

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 19. Параметры отдельных элементов схемы заданы.

Принимаем потенциал узла 0 равным нулю (j0 = 0), а потенциалы узлов 1 и 2 (j1 и j2) будем считать неизвестными, подлежащими определению.

Зададимся положительными направлениями токов в ветвях схемы I1, I2, I3, I4, I5. Составим потенциальные уравнения ветвей и выразим из них токи ветвей:

I1 = (j1 – j0 + E1 )/ R1

I2 = (j2 – j0 + E2 )/ R2

I3 = (j1 – j0 + E3 )/ R3

I4 = (j0 – j1 )/ R4

I5 = (j0 - j2  )/ R5

Составим (n-1) уравнение по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:

-I1 – I3 + I4 – J1 – J2 = 0

-I2 + I3 + I5 + J2 =0

Подставим значения токов из потенциальных уравнений в уравнения 1-го закона Кирхгофа. После приведения коэффициентов получим систему узловых уравнений:

 

В обобщенной форме система узловых уравнений имеет вид:

 

Здесь введены следующие обозначения:

 G11 =1/R1 +1/R3 +1/R4; G22 =1/R2 +1/R3 +1/R5 и т.д. – собственные проводимости узлов, равные суммам проводимостей всех ветвей, сходящихся в данном узле, всегда положительны;

 G12 = G21 = 1/R3; Gnm = Gmn– взаимные проводимости между смежными узлами (1 и 2, m и n), равные сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы, всегда отрицательны;

J11 = - E1 /R3 – E3 /R3 – J1; J11 =- E2 /R2 – E3 /R3 + J1 и т.д. – узловые токи узлов, равные алгебраической сумме слагаемых E/R и J от всех ветвей, сходящихся в узле (знак ”+”, если источник действует к узлу, и знак “-” , если источник действует от узла).

Система узловых уравнений в матричной форме:

  или сокращенно ,

где   - матрица узловых проводимостей,  - матрица узловых потенциалов,  - матрица узловых токов.

Магнитное поле в электрической машине С целью усиления и концентрации магнитного поля в электрической машине для него создается магнитная цепь. Электрическая машина состоит из двух основных частей : неподвижного статора и вращающегося ротора, выполненных соответственно в виде полого и сплошного цилиндров.
Законы Кирхгофа при расчете электрических цепей