История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Функция нескольких переменных Интеграл Типовые задачи Системы линейных уравнений Предел функции Неопределенный интеграл Производная и дифференциал Неопределенный интеграл

Дифференцируемость ФНП

Теорема о существовании всех частных производных ФНП

Если  – дифференцируемая в точке  ФНП, то в этой точке существует частная производная функции по каждой координате, т.е.

.

Доказательство. По определению дифференцируемости ФНП в точке имеем , где , .

Пусть , т.е. изменяется только одна
координата, например , а все другие координаты не
изменяются. Тогда приращение вектора – аргумента становится
"частным" приращением и, соответственно, полное приращение функции  превращается в частное приращение функции в точке , вызванное "частным" приращением вектора – аргумента, 
и обозначается через

.

Используя представление для , получим  или . Поскольку пределы слагаемых в правой части равенства существуют, то
существует   .

Обратное утверждение неверно, т.е. существование частных производных ФНП в точке не гарантирует дифференцируемость ФНП в этой точке.

Контрпример. Пусть  Тогда в точке   не является непрерывной, а значит, и не является дифференцируемой.

Хотя при  , т.е.  – существует; аналогично существует .

СЛЕДСТВИЕ. Для дифференцируемой в точке  ФНП полное
приращение функции можно представить в виде

или

.

Здесь выражение  называется полным
дифференциалом первого порядка ФНП  в точке  
соответственно .

Так, в рассмотренном ранее примере 1 для  имеем , здесь ; ; .

В общем виде полный дифференциал первого порядка функции  в точке  можно записать

.


Вычисление интеграла