История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Функция нескольких переменных Интеграл Типовые задачи Системы линейных уравнений Предел функции Неопределенный интеграл Производная и дифференциал Неопределенный интеграл

Дифференцируемость ФНП

Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке

Если для ФНП  существуют частные производные по всем ее аргументам в некоторой окрестности  точки   и они непрерывны в точке , то функция  дифференцируема
в точке .

Доказательство проведем для  .

Представим полное приращение функции

для  . Поскольку в   существуют  и

, то к выделенным разностям применима теорема
Лагранжа (по соответствующим переменным). Поэтому , где , ; , .

В силу непрерывности частных производных в точке  имеем , т.е.

, где .

Аналогично , где .

Подставляя полученные выражения для частных производных, получим , здесь  и  – постоянные,

а , по определению функция  дифференцируема в точке .

Доказательство может быть обобщено на случай функции
большего числа переменных.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Для функции  в точке  выделить
линейную относительно , ,  часть приращения функции
при произвольных , , .

2. Линеаризовать функцию  в окрестности
точки .

3. Вычислить приближенно число , пользуясь соотношением  для функции  в точке  при ; .

Ответы. 1.

2. .  3. .


Вычисление интеграла