История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Функция нескольких переменных Интеграл Типовые задачи Системы линейных уравнений Предел функции Неопределенный интеграл Производная и дифференциал Неопределенный интеграл

Формула Тейлора для ФНП

Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции с любой наперед заданной точностью. Погрешность может быть установлена с помощью оценки остаточного члена.

ПРИМЕР 2. Вычислить приближенно , используя формулу Тейлора для функций  в точке .

Решение. Ищем значение функции  в точке , т.е. ; ; , причем

.

Рассмотрим сначала приближение при , т.е. . Для этого вычислим

;  и ;

 и ;

  и .

Получаем  с погрешностью не ниже (не хуже) чем .

При   , поэтому
вычисляем частные производные второго порядка функции в точке  и  при указанных значениях , , .

  и ;

  и ;

  и ;

и  ;

  и ;

  и , т.е.

.

Окончательно получаем

;

при этом гарантируется погрешность , где , т.е. .

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Разложить функцию  по формуле Тейлора в окрестности точки  до членов второго порядка включительно.

2. Функцию  представить в виде суммы степеней разностей , , .

3. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки  функцию  при .

4. Вычислить приближенно значение функции  в точке , взяв в формуле Тейлора .

5. Вычислить приближенно значение функции

  в точке ,
используя формулу Тейлора при .

Ответы. 1. ; применяем формулу , , . Погрешность приближенного равенства , где .

2.

; используем формулу Тейлора для  в окрестности точки  при .

3. , где .

4. .

5. .


Уйти в академический отпуск это вовсе не то же самое.
Вычисление интеграла