История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Функция нескольких переменных Интеграл Типовые задачи Системы линейных уравнений Предел функции Неопределенный интеграл Производная и дифференциал Неопределенный интеграл

Локальный экстремум ФНП

Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП

 (*)

в зависимости от вида множества  – множества допустимых аргументов . При этом под символом  можно понимать максимум () или минимум (), но чаще решается задача минимизации ФНП, поскольку .

Если  – область определения ФНП, то задача (*) называется задачей нахождения  ФНП без ограничений (задачей безусловного экстремума).

Пусть ФНП  задана на области ,  – внутренняя точка этой области. Тогда ФНП  имеет в точке  локальный безусловный , если существует окрестность , для всех
точек   которой приращение функции  сохраняет знак, причем  при ,  при .

Необходимые условия существования локального экстремума ФНП: если в точке  ФНП  имеет локальный экстремум, то в этой точке ее частные производные либо равны нулю, либо не существуют.

Для дифференцируемой в точке экстремума функции  все частные производные , , т.е. при  . Итак, точки локального экстремума ФНП  находятся либо среди точек, в которых функция не дифференцируемая, либо среди тех, в которых дифференциал первого порядка обращается в ноль.

Достаточные условия существования локального экстремума: для дважды непрерывно дифференцируемой ФНП , если  и если  является положительно определенной (соответственно отрицательно-определенной) квадратичной формой относительно приращений независимых переменных, то в точке  функция  имеет локальный минимум (соответственно максимум).

Действительно, поскольку имеем

,

где , то интуитивно ясно, что в достаточно малой окрестности точки  – "подозрительной" точки на   – получаем

.

Для установления знакоопределенности квадратичной формы  применяется критерий Сильвестра*.

Пусть матрица  имеет главные миноры

.

Для положительной определенности квадратичной формы  необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны, т.е.  .

Для отрицательной определенности квадратичной формы  необходимо и достаточно, чтобы знаки значений главных
миноров чередовались, начинаясь с отрицательного, т.е.

.


Проститутки м Бибирево на http://moskva-prostitutki.com.
Вычисление интеграла