История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Функция нескольких переменных Интеграл Типовые задачи Системы линейных уравнений Предел функции Неопределенный интеграл Производная и дифференциал Неопределенный интеграл

Локальный экстремум ФНП

ПРИМЕР. Исследовать на локальный экстремум .

Решение. Применяя необходимые условия (сокращенно НУ), находим точки, "подозрительные" на экстремум:

НУ:   и .

Для применения достаточных условий (сокращенно ДУ) составляем  и рассматриваем его определенность в каждой
"подозрительной" на экстремум точке; имеем

 –

квадратичную форму относительно  и .

ДУ: ; матрица коэффициентов этой квадратичной формы имеет вид ; для нее , . Критерий Сильвестра не выполняется. Нужны дополнительные
исследования, их можно провести, например, следующим образом.

Пусть  – произвольная -окрестность () точки . Поскольку , то найдутся точки, принадлежащие этой окрестности, в которых  имеет значения различных знаков, например, в точке  , а в точке  имеем .

Итак, во всякой -окрестности точки  приращение функции не сохраняет знак. Это означает, что точка  не является точкой экстремума для рассматриваемой функции.

В точке   матрица коэффициентов квадратичной формы  имеет вид , для нее , . Согласно критерию Сильвестра  – положительно определенная квадратичная форма; по ДУ в точке  функция имеет локальный (безусловный) минимум, причем .

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. .

2. Исследовать на локальный безусловный экстремум функцию , заданную неявно уравнением:

а) ; б) .

Ответы. 1. ; в точках , ,  требуются дополнительные исследования.

2. а) , , здесь
НУ: , значение  находим из самого

уравнения , т.е. , . Для применения достаточных условий существования экстремума следует найти дифференциал второго порядка функции  в каждой из точек  и ;

б) ,  – отрицательно определенная квадратичная форма относительно  и .


Вычисление интеграла