История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Функция нескольких переменных Интеграл Типовые задачи Системы линейных уравнений Предел функции Неопределенный интеграл Производная и дифференциал Неопределенный интеграл

Интегрирование функций нескольких переменных

Теорема необходимое условие существования определенного интеграла

Если функция интегрируема (по Риману) на отрезке, то она ограничена на нем.

Доказательство. Пусть  интегрируема на , т.е. существует . Покажем ограниченность функции  на , т.е.

.

Предположим, что  не ограничена на . Тогда

.

При ,  можно построить последовательность :   и . Поэтому можно указать такое
разбиение   отрезка  и провести выбор чисел  так, что интегральная сумма  примет значение больше любого наперед заданного числа, т.е. определение определенного интеграла не выполнится.

Итак, только для ограниченной на  функции  существует интеграл .

Заметим, однако, что не для всякой ограниченной на  функции  существует интеграл, т.е. требование ограниченности функции является НЕОБХОДИМЫМ, но не является ДОСТАТОЧНЫМ условием интегрируемости функции.

Контрпример. Пусть

Тогда для всякого разбиения  на  можно указать систему точек  такую, что   и поэтому , а также , т.е. . При  не существует единого предела для интегральной суммы, не зависящего от  
и , т.е. функция , будучи ограниченной на , не является интегрируемой (по Риману) на .

Аналогичные соображения имеют место и для  в общем случае:

если интеграл , построенный соответственно рассмотренной выше процедуре (по Риману), существует, то  –
ограниченная на   функция, т.е. только для ограниченных на  функций , , можно рассматривать указанный интеграл.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана подробно изложены, например, в [1].

Сформулируем некоторые ДОСТАТОЧНЫЕ условия существования определенного интеграла, т.е. укажем классы функций , , интегрируемых по Риману: если

либо 1)   – непрерывна на

 либо 2)  – кусочно-непрерывна и ограничена на ;

либо 3)   – монотонная или кусочно-монотонная и ограничена на , то определенный интеграл  существует (имеет конечное значение).

Впредь будем предполагать, что все рассматриваемые функции  и множества , , обладают ("хорошими") свойствами, нужными для существования интеграла .


Вычисление интеграла