История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Функция нескольких переменных Интеграл Типовые задачи Системы линейных уравнений Предел функции Неопределенный интеграл Производная и дифференциал Неопределенный интеграл

Геометрические свойства интеграла ФНП

Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

(при  на ).

Например, если поверхность  задается уравнением ,  – проекция поверхности  на плоскость , то площадь поверхности  есть

.

Объем тела

а) Объем тела "с известной площадью сечения" считается с
помощью определенного интеграла.

б) Пусть в пространстве  задано тело, ограниченное плоскостью ,а именно плоской областью , цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси  и направляющей – границей  области  и поверхностью , заданной уравнением ;  – проекция поверхности  на плоскость ;  на .

Такое тело обычно называют цилиндрическим телом; объем его вычисляется с помощью двойного интеграла

.

Это согласуется с геометрическим представлением интегральной суммы   и ее пределом при  .

в) В случае, когда тело можно представить комбинированием цилиндрических тел, объем его считается через объемы этих цилиндрических тел. Для тела, ограниченного достаточно простыми
поверхностями, объем можно вычислять с помощью тройного интеграла

(  на ).


Вычисление интеграла