История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Функция нескольких переменных Интеграл Типовые задачи Системы линейных уравнений Предел функции Неопределенный интеграл Производная и дифференциал Неопределенный интеграл

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Решение. Переходим к сферическим координатам

.

Заметим, что эта задача может иллюстрировать нахождение массы шарового кольца с заданной функцией плотности распределения массы в нем.

Типовые задачи

1) Вычисление тройных интегралов (см. примеры 1 – 3).

2) Объем тела ;

среднее значение функции  на теле .

ПРИМЕР 4. Найти среднее значение функции  на фигуре, ограниченной поверхностями  и .

Решение. Среднее значение функции находим по формуле

,

где  – объем тела.

Сначала вычислим объем фигуры; она ограничена снизу конусом  и сверху – сферой ; проекция на плоскость  есть круг . Поэтому объем фигуры
равен значению тройного интеграла [an error occurred while processing this directive]

.

Затем вычислим

  и .

3) Механические приложения тройного интеграла (см. пример 3).

ПРИМЕР 5. Найти центр тяжести – точку  – цилиндра  :  если плотность  распределения массы в каждой его точке равна квадрату расстояния от точки до плоскости .

Решение. В силу симметрии тела и функции  имеем , где  – масса тела.

Находим ее:

  (считаем в цилиндрических
координатах).

Поскольку статический момент

,

то .

Итак, .


Вычисление интеграла