Метод центрального проецирования

Теория линейных ДУ

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида, (4)

линейное по неизвестной функции и всем ее производным, функции   и  заданы на общем интервале .

Если на   , то, поделив на  обе части ДУ (4), получим ЛДУ в приведенном виде

. (5)

Обозначим через  дифференциальный оператор , тогда ДУ (5)
запишется в операторной форме .

При   на  имеем  – однородное ЛДУ
(ОЛДУ), при   на  –  – неоднородное ЛДУ (НЛДУ) -го порядка.

Впредь будем различать ОЛДУ с переменными коэффициентами и ОЛДУ с постоянными коэффициентами (ОЛДУ п/к) в зависимости от того, являются ли коэффициенты   постоянными функциями на . Свойства решений ЛДУ (5) известны (см. [2]).

Прежде всего согласно теореме существования единственного решения задачи Коши для ДУ -го порядка можно утверждать, что для любых НУ:  где  и  – произвольный вектор, найдется окрестность , , на которой существует единственное решение соответствующей задачи Коши для НЛДУ; доказано [4, с. 274], что это решение продолжаемо на . Здесь  – общий интервал непрерывности всех коэффициентов и правой части НЛДУ (5). Для ОЛДУ п/к, очевидно, решение  задачи Коши существует на  и притом единственное.

Свойства решений ОЛДУ  устанавливаются следующими утверждениями.

Пусть  – множество всех решений ,  ОЛДУ , т.е. , каждая функция   раз дифференцируема на , причем каждая из производных решения непрерывна на .

Утверждение 1. Множество  – линейное пространство.

В самом деле, сумма двух произвольных решений ОЛДУ является решением этого ДУ, так как

.

Поэтому ,   .

Умножение всякого решения на число приводит снова к решению ОЛДУ, поскольку

,  .

Аксиомы линейности для пространства  легко проверяются, при этом нулевым элементом пространства  является тривиальное решение ОЛДУ .

Утверждение 2. Пространство  изоморфно пространству .

В самом деле, для  имеем в точке  , , ,  и . Указанное отображение  – гомоморфизм, поскольку каждому элементу  соответствует определенный элемент из , причем сумме прообразов в  соответствует сумма соответствующих образов в , умножение прообраза на число соответствует умножению на это же число его образа.

Обратное отображение:   реализуется
решением задачи Коши   и тоже определяет гомоморфизм, поскольку используемые здесь операции дифференцирования и интегрирования являются линейными.

Итак, между пространствами  и  установлено взаимно
однозначное отображение с сохранением действий сложения элементов и умножения элемента на число (изоморфное отображение), т.е. пространства  и  изоморфны, и поэтому их размерности совпадают.


Учебник Высшая математика примеры решения задач