Метод центрального проецирования

Теория линейных ДУ

Теорема о необходимом условии линейной зависимости произвольной системы функций

Если система  раз дифференцируемых функций , , линейно зависимая на , то ее вронскиан тождественно равен нулю на , т.е.

 .  (8)

Доказательство. По определению линейно зависимой системы функций (6) можно указать "ненулевой" набор постоянных , , при котором . Продифференцируем  раз это тождество, зафиксируем произвольно взятое значение , , и подставим его в каждое тождество. Получим относительно  систему однородных уравнений

 (9)

Поскольку однородная система линейных уравнений имеет
нетривиальное решение , то определитель системы
должен быть нулевым. Замечаем, что определитель системы (9) есть вронскиан для  в точке , т.е. . Выбор значения  был произвольным, поэтому  
на .

В общем случае обратное утверждение для (8) неверно.

Например, для функций  и  вронскиан , поскольку .

Но если линейная комбинация этих функций , то , т.е. система функций  – линейно независимая на .

Обратное утверждение для (8) верно, если система функций  состоит из решений одного и того же ОЛДУ , т.е. .

Утверждение (о достаточном условии линейной зависимости системы решений ОЛДУ)

Если 1) , т.е. ;

 2)   на ,

то система решений ОЛДУ  – линейно зависима на .

Доказательство. Пусть  – произвольная точка из . Тогда , и система однородных линейных уравнений

  (10)

относительно  имеет определитель . Поэтому система (10) имеет ненулевые решения, например, , причем  – ненулевой набор чисел, .

Рассмотрим функцию  – линейную комбинацию решений ОЛДУ. По утверждению 1) , т.е.  на , при этом из (10) имеем:

Итак, решение  удовлетворяет нулевым начальным условиям в точке . Но таким же НУ удовлетворяет и тривиальное
решение  ОЛДУ . В силу выполнимости условий теоремы о единственности решения задачи Коши  рассматриваемые решения  и  должны совпадать. Значит, найден ненулевой набор чисел , такой, что , т.е.  –
линейно зависимая система решений ОЛДУ.

Замечание. Условие (2) в утверждении может быть ослаблено, достаточно потребовать обращения в ноль вронскиана в одной
какой-либо точке интервала , т.е. .

Итак, указаны необходимое и достаточное условия линейной
зависимости системы   решений ОЛДУ .


Учебник Высшая математика примеры решения задач