Метод центрального проецирования

Теория линейных ДУ

Поскольку понятия линейной зависимости и независимости системы решений ОЛДУ  отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной независимости системы решений ,  ОЛДУ.

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условия линейной независимости системы решений ОЛДУ)

Пусть   – система решений ОЛДУ  на . Тогда

.

Утверждения () и () проверяются рассуждениями от противного на основе теорем о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы решений ОЛДУ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (ФСР ОЛДУ )

Всякая линейно независимая система  решений ОЛДУ  называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого ДУ.

Всякое ОЛДУ имеет бесконечное множество ФСР, каждая из них соответствует некоторой системе  линейно независимых векторов (базису) в .

ТЕОРЕМА (о структуре общего решения ОЛДУ)

Если ,  – какая-либо ФСР ОЛДУ , то общее решение этого ДУ есть линейная комбинация данных решений с произвольными постоянными , т.е.

. (11)

Доказательство. 1)  – решение ОЛДУ на , поскольку по свойствам ОЛДУ  на ;

2) для допустимого произвольного НУ:

,,, при  имеем

  – (12)

систему линейных уравнений относительно  с определителем , так как  – линейно независимая система
решений на . Поэтому существует единственное
решение   системы (12).

Итак,  – решение ОЛДУ, причем для всякого
допустимого НУ существует единственный набор значений произвольных постоянных, такой, что решение , , удовлетворяет взятому НУ. По определению  – общее решение ДУ .

Замечание. Универсального метода нахождения ФСР для ОЛДУ общего вида нет. Для ОЛДУ п/к можно находить ФСР по корням характеристического уравнения (см. далее).

Иногда (в частности, для ОЛДУ второго порядка) полезно
утверждение:

если для  известно одно решение , ,
то замена переменной

  (13)

сохраняет линейность и однородность ДУ и понижает его порядок.

В самом деле, например, для  имеем , ,  и после подстановки в исходное ДУ получаем ОЛДУ первого порядка , которое может быть решено как ДУ с разделяющимися переменными. Решив его, берем .


Пвх пленка для пруда, fix подробнее.
Учебник Высшая математика примеры решения задач