Метод центрального проецирования

ПРИМЕР . Найти ФСР ОЛДУ . Записать общее решение. По НУ:   выделить частное решение.

Решение. Одно решение ДУ легко подбирается (угадывается) . Второе решение можно вычислить, используя замену (13) понижения порядка. Имеем   – произвольная постоянная; можно взять . Поэтому , можно взять . Для решений  вронскиан , поэтому эти решения образуют ФСР, .

Для нахождения частного решения реализуем НУ

.

Полезна проверка по ДУ и по НУ.

ПРИМЕР 11. Составить ОЛДУ второго порядка, имеющего решения .

Решение. Если  и  – решения ОЛДУ, то их
линейная независимость следует из того, что вронскиан  на .

По теореме о структуре общего решения ОЛДУ всякое его решение  выражается через  и , т.е.  – система линейно зависимых на  функций. Поэтому

 – искомое ОЛДУ второго порядка, его общее решение запишется в виде , .

ТЕОРЕМА (о структуре общего решения НЛДУ)

Пусть , , где  – интервал непрерывности коэффициентов  и функции  (правой части НЛДУ). Тогда если 

1)  – ФСР ОЛДУ   на ;

2)   – какое-либо решение НЛДУ , ,

то   – общее решение НЛДУ, здесь  – произвольные постоянные, т.е.

.  (14)

Доказательство. Проверяем определение общего решения ДУ.

1)    на , т.е.  – решение НЛДУ;

2)НУ: где ,  имеем  систему  линейных алгебраических уравнений относительно  с определителем . Поэтому существует единственное решение  этой системы, такое, что  – решение НЛДУ, удовлетворяющее
взятым НУ.


Проститутки метро Академическая смотрите здесь.
Учебник Высшая математика примеры решения задач