Метод центрального проецирования

Механическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Пространство переменных  СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной. Так, например, для СДУ второго порядка

  (5)

фазовое пространство может быть плоскостью, цилиндрической
поверхностью (если функции  и   – периодические только по одной и той же координате с равным периодом), тором (если  и  периодические по  и по  с равными периодами соответственно).

Решение СДУ (4) можно рассматривать в фазовом пространстве, ему соответствует параметрически заданная кривая,  – параметр.

Уравнения СДУ задают значения скоростей изменения координат изображающей точки , . Задача
решения СДУ при этой интерпретации эквивалентна восстановлению координат движущейся в   точки по известным скоростям их
изменения. Ориентируемая кривая, описываемая при этом изображающей точкой , , называется фазовой траекторией СДУ, она расположена в фазовом пространстве СДУ.

Для автономной СДУ

  (6)

(правая часть СДУ не зависит явно от ) фазовую траекторию можно представить как ориентированную проекцию годографа решения СДУ в  на фазовое пространство .

В ПРИМЕРЕ 2 плоскость  – фазовое пространство;
ДУ   определяет фазовые интегральные кривые   системы; именно на них и расположены фазовые траектории СДУ. Заметим, что на одной интегральной кривой может быть расположена неединственная траектория системы.

Так для ПРИМЕРА 2 имеем:

фазовая траектория , , расположена на интегральной прямой  (), примыкая при  
к ;

фазовая траектория , , расположена на  (), примыкая к  при ;

  на  также решение системы (состояние равновесия СДУ), т.е. тоже фазовая траектория и расположена на прямой .

Итак, на фазовой интегральной прямой СДУ  примера 2 расположены три различные траектории.


Учебник Высшая математика примеры решения задач