Метод центрального проецирования

  Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме

ПРИМЕР 3. Является ли двухпараметрическое семейство функций ,  общим решением СДУ  если

а) ;

б) ;

в) ?

Решение. а) Обозначим  и запишем СДУ в виде векторного дифференциального уравнения . Подставляя  в это уравнение, убеждаемся, что   не удовлетворяет уравнению

  или ,

т.е.   не является решением системы при  и , а значит, не является ее общим решением.

б) Подставляя  в уравнение ,
получаем независимо от значений  и  векторное тождество
на , т.е.  – решение системы при  и .

Возьмем произвольное НУ , . Попытаемся найти соответствующее значение произвольного вектора  и убедиться в его единственности. При  должно выполняться векторное
равенство , или , или при покоординатной записи – система двух алгебраических линейных относительно  и  уравнений. Поскольку определитель этой
системы , то она имеет неединственное решение, т.е. нарушается второе условие определения общего
решения.

Итак,   – решение СДУ, но оно не является ее
общим решением, так как нельзя по НУ найти единственное значение .

в)   – решение СДУ при  и . По всякому НУ вида  единственным образом находится значение  из системы  (). Поскольку в матричной форме имеем , то  или .

Иногда решение  СДУ  определяется в
области   неявно векторным соотношением , которое в этом случае называется общим интегралом системы.


Учебник Высшая математика примеры решения задач