Метод центрального проецирования

Сведение СДУ к одному ДУ

ПРИМЕР 4. Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Решение. Обозначим . Тогда СДУ запишется в векторно-матричной форме , где  – матрица коэффициентов.

Правые части уравнений СДУ являются линейными функциями относительно , поэтому непрерывны и дифференцируемы всюду.

Дифференцируем по  последовательно первое уравнение в силу уравнений СДУ и получаем

;

 

или систему

Из первых двух уравнений находим значения  и , их подставляем в третье уравнение

.

Получаем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) третьего порядка . Его характеристическое уравнение  имеет действительные корни . Поэтому общее решение этого ДУ запишется , здесь  – произвольные постоянные. Вычислив теперь  и , найдем

  ,

аналогично .

Итак, общее решение СДУ запишется в виде

или в векторной форме  или

, где  – векторно-матричная форма записи ответа.

Здесь , где   – фундаментальная матрица исходной СДУ.

Заметим, что не всякую СДУ можно свести к одному ДУ.
Например, для СДУ   или  не удается
исключить переменную; очевидно, .


пластиковые пруды heissner.
Учебник Высшая математика примеры решения задач