Метод центрального проецирования

Метод интегрируемых комбинаций

Иногда при решении СДУ  удается преобразовать уравнения СДУ к ДУ относительно некоторой комбинации искомых функций, которое легко интегрируется. В результате находим соотношение вида , связывающее искомые функции  и аргумент  (это соотношение называют первым интегралом СДУ). Очевидно, что если найти  первых интегралов , и они окажутся линейно независимыми относительно  (якобиан ), то СДУ решена, и ее ответ записывается либо в виде общего интеграла – совокупности  линейно независимых первых интегралов, либо в виде общего решения (после того, как  уравнений , разрешены относительно ).

ПРИМЕР 5. Решить СДУ

Решение. СДУ состоит из двух нелинейных ДУ. Ее можно свести к одному ДУ , но его решение достаточно сложное. В то время, как интегрируемые комбинации очевидны; складываем оба уравнения системы и получаем ДУ  относительно комбинации функций . Решаем ДУ разделением переменных , после интегрирования имеем  или  – первый интеграл СДУ.

Вычитая уравнения, получим ДУ  или  – также первый интеграл СДУ. Обозначим через  и  и составим якобиан

 

в при  (при  СДУ сводится к ДУ ).

Заметим, что не всякое соотношение, связывающее неизвестные функции, аргумент и постоянную, является первым интегралом решаемой СДУ.

Первым интегралом СДУ ,  
называется такое соотношение вида , которое обращается в тождество при подстановке всякого решения СДУ, при этом сама функция  не тождественна постоянной.


Здесь проститутки Дмитровская.
Микрогофрокартон в листах на сайте www.interkarton.ru.
Учебник Высшая математика примеры решения задач