Метод центрального проецирования

Метод интегрируемых комбинаций

ПРИМЕР 6.  – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

Рассмотрим функцию , для нее при  и  имеем

 – const, т.е. на каждом решении СДУ –const и поэтому   – первый интеграл рассматриваемой СДУ. Получить это соотношение можно было сведением СДУ к ДУ  и последующим интегрированием.

Если сложить уравнения СДУ , то выявляется
интегрируемая комбинация , или , или . Покажем, что здесь тоже первый интеграл СДУ.
Для этого рассмотрим значение функции  на
решениях СДУ. При   и  имеем

  – const.

Естественно, что если решения СДУ уже известны, то находить ее первые интегралы может быть и нецелесообразно. В процессе решения СДУ знание каждого первого интеграла помогает понизить порядок СДУ на единицу, а знание точно   независимых первых интегралов СДУ позволяет считать СДУ решенной, ее решения записаны в неявной форме.

Полезна следующая теорема:

соотношение ,  – const, является первым интегралом СДУ  тогда и только тогда, когда производная по  функции  в силу уравнений СДУ тождественно равна нулю
на .

Для примера 6 имеем

;

  ,

причем якобиан , поэтому общий интеграл СДУ ПРИМЕРА 6 запишется в виде  
Если разрешить относительно  и   эту систему и преобразовать, то можем получить общее решение в ранее найденной форме.


циклевка паркета частным мастером циклевщиком.
Учебник Высшая математика примеры решения задач