Метод центрального проецирования

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ

ПРИМЕР 8. Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые.

Однако, если вектор-функции  являются решениями какой-либо СОЛДУ , то линейная зависимость функций на  эквивалентна линейной зависимости их значений при любом фиксированном .

ТЕОРЕМА (о достаточном условии линейной зависимости системы решений СОЛДУ)

Если 1)    – решение ;

2) при некотором  векторы  – линейно зависимы с коэффициентами зависимости ,

то система решений СОЛДУ  линейно зависима с теми же коэффициентами зависимости .

В самом деле, по условию существует ненулевой набор чисел , такой, что . Рассмотрим вектор-функцию ; она удовлетворяет СОЛДУ и соответствует НУ . Этому же условию удовлетворяет тривиальное решение СОЛДУ. Поэтому в силу единственности существования решения задачи Коши для СОЛДУ (9)  при всех , а это означает, что  – линейно зависима и .

Утверждение 3. Всякие "" линейно независимых решений СОЛДУ  образуют базис пространства .

В самом деле, пусть система вектор-функций  состоит из линейно независимых решений СОЛДУ. Тогда для каждого  векторы   линейно независимы, они образуют
базис пространства . Поэтому всякий вектор  может быть разложен по элементам этого базиса .

Возьмем произвольное решение СОЛДУ – вектор-функцию  и ее значение в точке  разложим по базису , т.е. .

Здесь 1)  – решения СОЛДУ на ;

2) при   векторы  – линейно зависимы с коэффициентами зависимости . По теореме о достаточном условии линейной зависимости системы решений
СОЛДУ  вектор-функции  также линейно зависимы с теми же коэффициентами зависимости. Поэтому имеем , т.е. произвольное решение  разложено по вектор-функциям  – базису пространства .

Всякий базис пространства всех решений СОЛДУ  называется фундаментальной системой решений (ФСР) СОЛДУ. Матрица, столбцы которой являются ФСР, называется фундаментальной матрицей СОЛДУ .


Учебник Высшая математика примеры решения задач