Метод центрального проецирования

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ

Определитель матрицы , составленной из произвольных решений СОЛДУ  -го порядка, называется определителем Вронского и обозначается

.

Справедлива формула Лиувилля Ранг матрицы Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных строк, и столбцов матрицы, называется минором -го порядка этой матрицы.

,  (10)

здесь  – определитель Вронского,  – произвольная точка интервала непрерывности матрицы  СОЛДУ;  – след матрицы.

ОБОСНОВАНИЕ: продифференцируем определитель  по , пользуясь правилом дифференцирования определителя , где , – определитель, отличающийся от   -й строкой, в которой вместо функций  записаны их производные по : . Поскольку определитель Вронского  состоит из решений СОЛДУ, то для каждого

;

  и т.д.

Поэтому каждый определитель , можно представить в виде суммы определителей

,

где  – определитель, в котором при  элементы -й строки совпадают с соответствующими элементами -й строки, т.е. при   и .

Таким образом, окончательно получаем

  или  –

дифференциальное уравнение относительно . Берем произвольное  – интервал непрерывности матрицы  и интегрируем . Отсюда следует формула Лиувилля.

Замечание. Из формулы Лиувилля имеем, что если в некоторой точке   , то и  . Если же , то  .

Если решения , из которых составлен определитель Вронского , линейно зависимы, то  на . Из формулы (10) видим, что в этом случае утверждения:

1) [ на ]  и 2) []

эквивалентны.

Пусть матрица  составлена из некоторой ФСР СОЛДУ, т.е.  – линейно независимые решения СОЛДУ на , значит,  какая-либо фундаментальная матрица СОЛДУ.

Тогда можно сформулировать следующие свойства фундаментальных матриц СОЛДУ .

Определитель Вронского всякой фундаментальной матрицы не обращается в ноль на , т.е.  на .

Поэтому всякая фундаментальная матрица обратима, т.е. на

.


На сайте http://www.moskva-prostitutki.com проститутки район Южное Тушино.
Учебник Высшая математика примеры решения задач