Метод центрального проецирования

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ

Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Дифференцируя  в силу уравнений СОЛДУ, получаем матрично дифференциальное уравнение , которому удовлетворяет фундаментальная матрица. С помощью этого свойства можем решать задачу о восстановлении матрицы исходной
СОЛДУ по любой известной ее фундаментальной матрице: очевидно, .

4. Фундаментальная матрица  называется нормированной в точке , если ; в этом случае , здесь  – начальный вектор в точке . Если  ненормированная в точке , то ее можно пронормировать, перейти к матрице . Построение решений систем линейных уравнений

5. Матрица  удовлетворяет уравнению ,
поэтому является фундаментальной для СОЛДУ , причем при  она нормирована. Обычно обозначают  и называют эту матрицу матрицей Коши для СОЛДУ.

9.4.4. СНЛДУ , ,

ТЕОРЕМА (о структуре общего решения СНЛДУ)

Если 1)  – какая-либо ФСР СОЛДУ ;

  2)  – какое-либо решение СНЛДУ, ,

то общее решение СНЛДУ находится по формулам:

  или

. (11)

Здесь  – фундаментальная матрица, соответствующая ФСР СОЛДУ в условиях теоремы. Доказательство проводится аналогично обоснованию соответствующей теоремы о структуре общего решения СОЛДУ.

Для нахождения  можно пользоваться методом вариации произвольных постоянных: ищем  в виде  из СНЛДУ. Имеем , т.е.  или , поскольку . Отсюда . После интегрирования ,  – любое число . Итак,

.  (12)

Подставим значение  из (12) в (11), получим формулу
Коши для выражения общего решения СНЛДУ

.  (13)

Если  – значение аргумента для начальных условий , то  и отсюда . Получаем выражение частного решения СНЛДУ

  (14)

или


Минет за деньги смотрите здесь.
Учебник Высшая математика примеры решения задач