Метод центрального проецирования

Метод Эйлера

Аналогично однородным линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами для СОЛДУ , где
  – const, можно попытаться найти решение в виде , где
 – постоянный вектор,  – постоянное число. Подставляя эту вектор-функцию в СОЛДУ, получаем  или , т.е.  должно быть собственным значением (сокр. с.з.), а   – соответствующим ему собственным вектором (сокр. с.в.) матрицы .

ПРИМЕР 11. Решить СОЛДУ .

Решение. Для матрицы  собственные значения – корни характеристического уравнения

. Примеры решения типовых задач Производная по направлению Курс практики по математике

Для  с.в. матрицы – вектор  – находим, решая систему линейных алгебраических уравнений

. Придавая некоторое произвольное значение одной переменной, найдем значение другой: например, . Итак,  – решение рассматриваемой СОЛДУ.

Для  аналогично получаем , например, и соответственно  – решение СОЛДУ. Количество решений точно равно порядку СДУ, они линейно независимы, поскольку определитель, составленный из этих решений, не обращается в ноль, поэтому общее решение СОЛДУ имеет вид .

Для получения ФСР СОЛДУ -го порядка нужно знать точно "" линейно независимых решений; в нашем случае количество решений СОЛДУ п/к определяется количеством и структурой корней характеристического уравнения

.  (15)

Возможны следующие ситуации.

1. Корни уравнения (15) действительные и попарно различные . Находим  решений , , . Определитель Вронского для этих решений , причем

, поскольку собственные векторы для различных попарно собственных значений матрицы линейно независимы. Итак, общее решение СОЛДУ п/к  в рассматриваемом случае запишем

,

где фундаментальная матрица строится из столбцов .


Учебник Высшая математика примеры решения задач