Основные правила дифференцирования

Предел функции одной переменной.

4.1. Определение функции. Терминология.

  Пусть Х, Y - некоторые множества.

Опр.4.1.1. Функцией называется любое правило (закон), которое каждому элементу хÎХ ставит в соответствие определённый элемент уÎ Y.

 Обозначение функциональной зависимости: y = f(x) или f : X®Y. Множество Х называется областью определения функции, множество Yf = f(X) = {y| y = f(x), xÎX}ÍY - областью значений функции. (Смысл записи f : X®Y состоит в том, что функция y = f(x) отображает множество Х в множество Y. Если образ множества X при отображении f : X®Y полностью "накрывает" множество Y, т.е. Yf = Y, то отображение f : X®Y называется отображением Х на Y. Так, функция y = x2 отображает отрезок [ 1, 2] в отрезок [ 1,10] и на отрезок[ 1, 4]).

  В этом семестре мы будем рассматривать действительнозначные функции одной действительной переменной, т.е. XÍR, YÍR. Множество точек {(x,y)| xÎX, y = f(x)} на плоскости будем называть графиком функции y = f(x).

 Обычно перечисляются следующие способы задания функции: аналитический, графический, табличный. Определить длины сторон, углы и площадь треугольника, заданного его вершинами

 Введем важное определение суперпозиции функций:

Опр.4.1.2. Пусть даны функции j : Т®Х и f : X®Y. Функция F : Т®Y, ставящее в соответствие элементу tÎT элемент уÎ Y по правилу y=f(j(t)), называется суперпозицией функций f и j (или сложной функцией).

 Так, функция y=sin(x5) есть суперпозиция функций z= x5 и y=sin(z).

 Предполагается, что студенты знают свойства и графики основных элементарных функций (степенной y = xa; показательной y = ax, a>0, a¹1; логарифмической y = loga x, a>0, a¹1; тригонометрических y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x; обратных тригонометрических y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x) и умеют строить эскизы графиков элементарных функций (функций, получающихся из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций). К основным функциям отнесём также гиперболические функции: синус гиперболический y = sh x, косинус гиперболический y = ch x, тангенс гиперболический y = th x, котангенс гиперболический y = cth x и обратные им арксинус гиперболический y = ar sh x, арккосинус гиперболический y = ar ch x, арктангенс гиперболический y = ar th x, арккотангенс гиперболический y = ar cth x, основные сведения о которых будут приведены ниже.

Примеры неэлементарных функций:

 Функция Е(х) - целая часть х - наибольшее целое число, не превосходящее х (график справа);

Функция Дирихле:

 

Функция Римана:

График функции Римана на отрезке [1,2] качественно изображён справа (построены рациональные точки со знаменателями ). Основной факт, который очевиден из рисунка и который нам понадобится в дальнейшем – при любом e>0 выше линии у=e лежит не более чем конечное число точек графика.

 Напомним терминологию, применяемую для описания свойств функций.

 Опр.4.1.3. Функция называется ограниченной сверху на множестве Х, если существует такое число М, что для любого xÎX выполняется неравенство f(x)£М.

В краткой форме записи: f(x) ограничена сверху на ХÛ {$МÎ" xÎX f(x)£М}.

 Опр.4.1.4. f(x) ограничена снизу на ХÛ {$МÎ" xÎX f(x)³ М}.

 Опр.4.1.5. f(x) ограничена на ХÛ {$МÎ" xÎX | f(x)|£ М}. (Другими словами,

£ f(x)£ М, т.е. f(x) ограничена и сверху и снизу).

  Опр.4.1.6. f(x) возрастает (не убывает) на ХÛ {" x1, x2ÎX x1<x2 Þ f(x1)£ f(x2)}.

 Опр.4.1.7. f(x) строго возрастает на ХÛ {" x1, x2ÎX x1<x2 Þ f(x1)< f(x2)}.

 Опр.4.1.8. f(x) убывает (не возрастает) на ХÛ {" x1, x2ÎX x1<x2 Þ f(x1)³ f(x2)}.

 Опр.4.1.9. f(x) строго убывает на ХÛ {" x1, x2ÎX x1<x2 Þ f(x1)> f(x2)}.

 Опр.4.1.10. f(x) монотонна на Х, если она или возрастает, или убывает на Х.

 Опр.4.1.11. f(x) строго монотонна на Х, если она или строго возрастает, или строго убывает на Х. [an error occurred while processing this directive]

Пусть дано отображение Х на Y: F : X®Y. Обратным отображением F -1: Y ® X называется отображение, которое каждому элементу уÎ Y ставит в соответствие тот элемент xÎX, для которого F(х) = у. Для того, чтобы обратное отображение было функцией, необходимо, чтобы этот элемент х определялся однозначно, т.е. чтобы прямое отображение F : X®Y было взаимно-однозначным. Таким образом, для того, чтобы функция у = f(x) с областью определения X и областью значений Y = Yf имела обратную функцию, необходимо и достаточно, чтобы она принимала разные значения в разных точках: x1¹x2 Þ f(x1) ¹ f(x2). Формальное определение:

 Определения.

 3.3.1. Несобственной точкой -¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

 Для "уÎR выполняется -¥<у.

3.3.2. Несобственной точкой +¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

 Для "уÎR выполняется у<+¥.

3.3.3. Пусть К>0. Несобственной точкой ¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

3.4. Границы числовых множеств.

Пусть Х={x|xÎR} - некоторое подмножество множества действительных чисел.

Криволинейный интеграл и его основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов. Криволинейные интегралы, зависящие только от начала и конца пути интегрирования. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
Предел функции одной переменной