Основные правила дифференцирования

Опр.4.1.12. Пусть функция у = f(x) взаимно-однозначно отображает множество X на множество Y. Обратной к f(x) называется функция x=g(y) с областью определения Y и множеством значений X, которая каждому уÎ Y ставит в соответствие тот элемент xÎX, для которого f(х) = у. Часто для обратной функции применяется обозначение x=f -1(y).

Очевидно, что 1. если g(y) обратна к f(x), то f(x) обратна к g(y) (т.е. эти функции взаимно обратны); 2. f(g(y)) = y, g(f(x)) = x. Очевидно также, что строгая монотонность функции обеспечивает существование обратной функции, при этом обратная функция тоже строго монотонна. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.

Опр.4.1.14. Функция у = f(x) называется чётной, если

1. её область определения симметрична относительно точки x = 0 (т.е. если xÎX, то и -xÎX);

2. для "xÎX f(x) = f(-x).

Опр.4.1.14. Функция у = f(x) называется нечётной, если

1. её область определения симметрична относительно точки x = 0; Найти интеграл от рациональной дроби Решение 1. Представляем квадратный многочлен в знаменателев виде произведения двух сомножителей:

2. для "xÎX f(x) = -f(-x).

 Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, принято называть функциями общего вида.

  Любую функцию, область определения которой симметрична относительно точки x = 0, можно единственным образом представить в виде суммы чётной и нечётной.

  Опр. 4.1.15. Функция называется периодической, если существует число Т¹0 такое, что для "xÎX: 1. x+ТÎX; 2. f(x+Т) = f(x). Число Т называется периодом функции.

  Периодическими являются тригонометрические функции. Нетривиальные примеры: периодична любая постоянная функция f(x) = С=const; периодична функция Дирихле, причем её периодом может служить любое рациональное число. Из определения следует, что если Т - период функции, то числа 2Т, 3Т, …. - тоже периоды. Наименьший отличный от нуля положительный период называется основным периодом. Функция Дирихле демонстрирует пример периодической функции, не имеющей основного периода.

Криволинейный интеграл и его основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов. Криволинейные интегралы, зависящие только от начала и конца пути интегрирования. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
Предел функции одной переменной