Основные правила дифференцирования

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Док-во. Пусть $. Возьмём e=1. $N: n> N Þa-1<an < a+1. Итак, все члены последовательности, начиная с N+1, ограничены снизу числом a-1, сверху - числом a+1. Вне окрестности U1(a) точки a может лежать не более N членов. Возьмём в качестве нижней границы число М1=min{a1,a2,a3,…,aN,a-1}, в качестве верхней границы число М2=max{a1,a2,a3,…,aN,a+1}. Тогда М1an М2, т.е. последовательность  действительно ограничена.

 Обратное утверждение неверно. Последовательность   ограничена: 1an<2, но предела не имеет (подпоследовательность членов с нечётными индексами сходится к числу 1, с чётными - к числу 2, последовательность в целом предела не имеет). Однако если мы дополнительно потребуем, чтобы последовательность была монотонной, то существование предела будет обеспечено:

 4.3.2.4. Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится (т.е. имеет предел). Тройные и двойные интегралы при решении задач Замена переменной в определенном
интеграле

 4.3.2.5. Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится.

 Док-во. Докажем утверждение 4.3.2.4. (4.3.2.5 доказывается аналогично). Так как множество чисел  ограничено сверху, оно имеет точную верхнюю грань . По свойствам точной верхней грани 1. an a; 2. для "e>0 существует элемент множества aN такой, что aN>a-e. Если n> N, то a-e< aN an(вследствие монотонного возрастания) a<a+e. Итак, для "e>0 мы нашли такое N, что при n> N имеет место a-e<an<a+e, т.е. доказали, что $.

 Приведём без доказательства ещё один факт, касающийся ограниченных последовательностей:

 4.3.2.6. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Опр. 4.3.3. Последовательность называется фундаментальной, если она удовлетворяет следующему условию: для "e>0 существует число N такое, что для любых n1, n2> N выполняется неравенство | an1 - an2 |<e.

Криволинейный интеграл и его основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов. Криволинейные интегралы, зависящие только от начала и конца пути интегрирования. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
Предел функции одной переменной