Основные правила дифференцирования

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

 Док-во. Необходимость. Пусть последовательность сходится, и её предел равен a. Возьмём "e>0. $N: n> N Þ| a-an |<. Возьмём любые n1, n2> N. Тогда и | a-an1 |<, и

| a-an2 |<. Оценим | an1-an2 |: | an1-an2 |=| an1-a+a-an2 |=| (an1-a)-(a n2-a) |  |an1-a | +

+ |a n2-a |<+=e Þ последовательность  фундаментальна.

 Достаточность строго доказывать не будем, приведём идею доказательства. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена (доказывается аналогично свойству 4.3.2.3), следовательно из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу a. Далее показывается, что это число будет пределом всей последовательности . Тройные и двойные интегралы при решении задач Определение двойного интеграла

 Далее будет сформулирован ряд свойств, касающихся арифметических действий с последовательностями и пределами. Эти свойства легко доказываются с применением бесконечно малых величин; мы докажем эти свойства позже, когда будем изучать пределы функций. Для функций также будет доказан ряд других свойств, справедливых и для последовательностей (теоремы о сохранении знака предела, о переходе к пределу в неравенстве и т.д.; см. пункт 4.4.4. Свойства функций, имеющих предел). Если даны последовательности ,, то символом  будем обозначать последовательность, получающуюся из  умножением всех её членов на постоянную величину С=const. Символами  будем обозначать последовательности, получающиеся из ,, соответственно, почленным сложением, умножением, делением исходных последовательностей. Тогда:

 4.3.2.8. Если последовательность  сходится, то сходится последовательность , и

(постоянный множитель можно выносить за знак предела);

 4.3.2.9. Если последовательности ,  сходятся, то сходятся и последовательности , и

 4.3.2.10.  (предел суммы последовательностей равен сумме пределов);

 4.3.2.11.  (предел произведения последовательностей равен произведению пределов);

 4.3.2.12.  (предел частного последовательностей равен частному их пределов (при условии, что предел знаменателя отличен от 0)).

Криволинейный интеграл и его основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов. Криволинейные интегралы, зависящие только от начала и конца пути интегрирования. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
Предел функции одной переменной