Основные правила дифференцирования

Операции над множествами.

 В этом параграфе будут рассмотрены три простые операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и разность (дополнение) множеств.

 Опр.1.2.1. Пусть даны множества А и В. Их объединением называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.

 Объединение множеств обозначается символами "+" и "": . Пусть, например, А={-6, -3, 0, 3, 6} B={0, 2, 4, 6, 8}. Тогда . Геометрически объединение множеств изображено на рис. 2.

 Аналогично определяется объединение большего числа множеств. Тройные и двойные интегралы при решении задач Определение тройного интеграла Функция нескольких переменных и ее частные производные Определение функции нескольких переменных Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных  x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).

 Опр.1.2.2. Объединением множеств А1, А2, А3, …, Аn (обозначение  называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А1, А2, А3, …, Аn.

Свойства операции объединения.

 Теор. 1.2.1. Справедливы следующие равенства: Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры (вывод формулы в полярной системе), длины дуги (вывод формулы в ДСК), объема тела вращения относительно Ox (вывод формулы)

  (коммутативность);

В)С=АС) (ассоциативность);

Если , то АВ= А;

А Ø= А.

Док-во. Формулы, подобные формулам 1-2, обычно доказываются так. Берётся элемент, принадлежащий правой части равенства, и доказывается, что он принадлежит левой части. В результате для формулы 1, например, будет доказано, что . Затем берётся элемент, принадлежащий левой части, и доказывается, что он принадлежит правой части равенства; для формулы 1 это будет означать, что . Из включений  и  следует, что .

Итак, пусть . Это значит, что либо , либо , либо одновременно  и . Во всех трех случаях . Включение  доказано. Пусть теперь . Это значит, что либо , либо , либо одновременно  и . Во всех трех случаях . Включение  доказано. Следовательно, , что и требовалось доказать.

Другой способ доказательства - изобразить левую и правую часть равенства для одних и тех же множеств на диаграммах Эйлера-Венна и убедиться, что они изображают одно и тоже множество. Так, для формулы 1 диаграммы приведены слева.

Задание. Самостоятельно доказать включения соответствующих множеств и изобразить диаграммы для формул 2-4.

Опр.1.2.3. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множества А и В называются непересекающимися.

Пересечение множеств обозначается символами "" и "" (знак умножения):  или С=АВ. Для примера, приведенного после опр.1.2.1, . Геометрически пересечение множеств представлено на рис. 3.

Свойства операции пересечения множеств.

 Теор. 1.2.2. Справедливы следующие равенства:

  (коммутативность);

В)  С=АС) (ассоциативность);

Если , то АВ= В;

А Ø= Ø.

Задание. Самостоятельно доказать включения соответствующих множеств и изобразить диаграммы для формул 5-8.

Действительная функция 2-х действительных переменных. График функции двух переменных. Линии уровня. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Дифференцируемость, частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.
Предел функции одной переменной