Основные правила дифференцирования how to run two batteries for car audio

Предел функции одной переменной.

4.4.1. Предел функции.

 В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе (производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела.

4.4.1.1. Определение предела функции в точке. Математика решение задач на вычисление матрицы

 Опр.4.4.1. Пусть а - предельная точка области определения Х функции f(x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа e>0 существует такое число d (вообще говоря, положительное и зависящее от e), что если хÎХ принадлежит также проколотой d-окрестности  точки а, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Вычисление пределов Вычислить момент инерции относительно плоскости дуги

Обозначения: ; f(x)® b при x® а; .

Краткая форма записи: .

Неравенство  расписывается в виде двустороннего неравенства как   или . Аналогично неравенство  можно расписать как . Поэтому смысл определения предела таков: , если для любой наперед заданной степени близости значений f(x) к числу b мы в состоянии найти такую близость аргумента х к числу а, которая обеспечивает эту близость f(x) к b. Заметим, что в определении никак не участвует значение f(а) функции f(x) в точке а, в частности, f(а) не обязательно должно быть равным b; более того, f(x) может быть вообще не определена в точке а.

 Рассмотрим два простых примера. Докажем, что 1. ; 2.  (дальше мы увидим, что предел любой элементарной функции при стремлении х к любой точке области определения этой функции равен значению функции в предельной точке).

Возьмём "e>0. Требуется найти такое d>0, что 0<| x-2 |<dÞ| x2-4 |<e, т.е. | (x-2)(x+2) |<e. Договоримся сразу брать d<1, тогда из | x-2 |<dÞ2-d<x<2+dÞx<3Þx+2<5. Неравенство

| (x-2)(x+2) |<e будет обеспечено, если . Таким образом, если в качестве d взять , то при | x-2 |<d(e) получим |x+2|<5Þ| (x-2)(x+2) |=| x-2 || x+2 |<*5=e, что и требовалось.

 Возьмём "e>0. Требуется найти такое d>0, что 0<| x-p/6 |<dÞ| sin x-1/2 |<e~

| sin x- sin(p/6)|<e ~<e.Так как , |sin a|<|a| при a¹0, то требуемое неравенство будет выполнено, если взять d(e)=e (Тогда из <| x-p/6 |<d=eÞ ; , что и требовалось.

Более сложный пример-функция Дирихле

В любой окрестности любого вещественного числа а имеются и рациональные, и иррациональные точки, обеспечить одновременное выполнение неравенств | b-1 |<e и | b-0 |<e при e<1/2 невозможно ни при каком значении b, следовательно, функция Дирихле не имеет предела ни при каком стремлении аргумента.

Рассмотрим ещё одно определение предела, эквивалентное предыдущему.

Криволинейный интеграл и его основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов. Криволинейные интегралы, зависящие только от начала и конца пути интегрирования. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
Предел функции одной переменной