Основные правила дифференцирования

Опр.4.4.2. Пусть {xn | xnÎX, xn ¹a} - последовательность точек области определения функции f(x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности {xn} последовательность значений функции { f(xn)} сходится к числу b, то b называется пределом f(x) при x®а. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне).

Докажем эквивалентность определений 4.4.1 и 4.4.2.

Утв.1. Если  в смысле опр. 4.4.1, то число b - предел f(x) при x®а и в смысле опр. 4.4.2.

Док-во. Пусть {xn} сходится к а, требуется доказать, что { f(xn)} сходится к b, т.е. что для "e>0 $N: n>N Þ | f(xn)-b |<e (в предположении, что выполняются условия опр. 4.4.1). Возьмём "e>0. $d: 0<| x-a |<d Þ | f(x)-b |<e. Так как xn®а при n ®µ, то $ N: n>N Þ | xn-a |<dÞ Пример Найти разложение в ряд Фурье функции:  

|f(xn)-b |<e. Нужное N найдено.

Утв.2. Если  в смысле опр. 4.4.2, то число b - предел f(x) при x®а и в смысле опр. 4.4.1.

Док-во от противного. Мы предположим, что требования опр. 4.4.1 не выполняются, и построим последовательность {xn}, сходящуюся к а, для которой { f(xn)} не сходится к b. Если требования опр. 4.4.1 не выполняются, то $e>0, для которого в любой проколотой d-окрестности точки а найдётся точка x, в которой | f(x)-b |>e. Возьмём d1=1. $ x1¹а: 0<| x1-a |<d1, но | f(x1)-b |>e. Возьмём d2<min{1/2, | x1-a |}. $ x2: 0<| x2-a |<d2, но |f(x2)-b |>e. Возьмём d3<min{1/3, | x2-a |}. $ x3: 0<| x3-a |<d3, но |f(x3)-b |>e. Вообще на n-ом шаге возьмём dn<min{1/n,

|xn-1-a |}. $ xn: 0<| xn-a |<dn, но |f(xn)-b |>e, и т.д. Мы получили, что xn®а при n®µ (так как

| xn-a |<1/ n), но | f(xn)-b|>e, т.е. { f(xn)} не сходится к b. Противоречие получено.

Рассмотрим ещё два примера.

( график этой функции приведен слева; х¹0). Докажем, что эта функция не имеет предела при х®0. В каждой точке последовательности  f(xn)=0, в каждой точке последовательности  f(xn)=1, разные последовательности дают разные пределыÞ не существует.

5. Функция Римана

Как следует из графика, приведённого на стр.17, в любой e-окрестности точки  при e< содержится не более чем конечное число значений функции, т.е. при рациональном значении аргумента х=а  не существует. Если х=а иррационально, то вне любой e-полосы |x|<e лежит не более чем конечное число точек графика, т.е. .

Сравнение рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
Предел функции одной переменной