Основные правила дифференцирования

Предел функции на бесконечности.

Опр.4.4.3. Пусть область определения Х функции f(x) неограничена. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет условию | x |> K, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Обозначения: ; f(x)® b при x® µ; .

Краткая форма записи: .

Пример: докажем, что .  при . Если взять " K>, то при | x |>K будет , что и требуется.

 Задание. 1. Самостоятельно сформулировать определение   на языке последовательностей. 2.Сформулировать условие отсутствия . Показать, что гармонический ряд расходится.

4.4.2. Односторонние пределы функции.

Опр.4.4.4. Число b называется пределом функции f(x) при х®а справа (или правым, правосторонним пределом), если для любого числа e>0 существует такое число d, что если хÎХ удовлетворяет неравенству a < x<а +d, то | f(x)-b |<e.

Обозначения: ; f(x)® b при x® а+0; ; f(а+0).

Опр.4.4.5. Число b называется пределом функции f(x) при х®а слева (или левым, левосторонним пределом), если для любого числа e>0 существует такое число d, что если хÎХ удовлетворяет неравенству a-d < x<а, то | f(x)-b |<e.

Обозначения: ; f(x)® b при x® а-0; ; f(а-0).

Односторонние пределы на бесконечности:

Опр.4.4.6. Число b называется пределом функции f(x) при х®+µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет неравенству x>K, то | f(x)-b |<e.

Обозначения: ; f(+µ).

Опр.4.4.7. Число b называется пределом функции f(x) при х®-µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет неравенству x<K, то | f(x)-b |<e.

Обозначения: ; f(-µ).

.  Для примера рассмотрим функцию

В точке х=0 эта функция не определена; найдём односторонние пределы при х®±0. При х®+0 (т.е. справа) (-1/х) ®-µ, е(-1/х)®0,

f(x) ®2+3/4=11/4. При х®-0 (т.е. слева) (-1/х) ®+µ, е(-1/х)® +µ,

3/(4+ е(-1/х)) ®0, f(x) ®2. Таким образом

 Найдем пределы этой функции при х®±µ. И при х®-µ, и при х®+µ получим (-1/х) ®0, е(-1/х)®1, f(x) ®2+3/5=13/5.

 Связь между пределом функции и односторонними пределами устанавливает

 Теор. 4.4.1. Для того, чтобы существовал  (или ), необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны односторонние пределы.

 Док-во. Необходимость. Пусть $. Для "e>0 $d: 0<| x-a |<d Þ| f(x)-b |<e. Но тогда | f(x)-b |<e и при 0< x-a <d(Þ0< x< a +d), и при -d< x-a <0(Þa -d< x<0), т.е. выполняются условия определений , , следовательно, оба односторонние предела существуют и равны между собой.

 Достаточность. Пусть $, $. Возьмём "e>0. Первый предел обеспечивает существование d1: a< x < a +d1Þ| f(x)-b |<e. Аналогично второй предел обеспечивает существование d2: a -d2< x<0Þ| f(x)-b |<e. Выберем d<min{d1, d2}. Тогда при 0<| x-a |<d для x>a будет выполняться первое неравенство, для всех x<a - второе. В обоих случаях |f(x)-b |<e, т.е. $, и этот предел равен числу b.

Задание 3. Самостоятельно сформулировать определение односторонних пределов на языке последовательностей. 4.Сформулировать условие отсутствия односторонних пределов.

Сравнение рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
Предел функции одной переменной