Основные правила дифференцирования

Бесконечно малые (БМ) функции.

Опр. 4.4.10. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®a, если .

БМ функции принято обозначать греческими буквами:a(х), b(х) и т.д, так и будем делать. Перевод определения на язык e-d:

a(х) - БМ при х®a Û {"e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ|a(х)|<e}.

БМ обладают всеми свойствами функций, имеющих предел. В этом разделе мы изучим специфические свойства БМ.

Теор. 4.4.7. Произведение БМ на ограниченную функцию - БМ функция.

Док-во. Пусть a(х) - БМ при х®a, f(x) ограничена в окрестности точки a. Требуется доказать, что a(х) f(x) - БМ при х®a. $С>0: | f(x) |<C; "e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ|a(х)|<e/CÞ

| a(х) f(x)|<e, т.е. a(х) f(x) действительно БМ при х®a.

Теор. 4.4.8. Алгебраическая сумма конечного числа БМ функций - БМ функция.

Док-во. Пусть a(х), b(х) - БМ при х®a. Требуется доказать, что a(х) ±b(х) - БМ при х®a. "e>0 $d1: 0<| x-a |<d1Þ|a(х)|<e/2; $d2: 0<| x-a |<d2Þ|b(х)|<e/2. Если взять 0<| x-a |<min{d2,d1}=d, то | a(х) ±b(х)|£ | a(х) |+ | b(х)|< e/2+e/2=e, т.е. a(х) ±b(х) действительно БМ при х®a.

Следствие: Линейная комбинация БМ функций - БМ функция.

Докажем теорему, которой придётся часто пользоваться и которая, в основном, объясняет причину выделения БМ функций в отдельный класс:

Теор. 4.4.9 (о связи функции с её пределом). Для того, чтобы функция f(x) имела предел, равный b, при х®a, необходимо и достаточно, чтобы f(x) представлялась в виде f(x)= b+a(х) , где a(х) - БМ при при х®a.

Док-во. Необходимость. Пусть $. Обозначим a(х)= f(x) - b, докажем, что a(х) - БМ при при х®a. По определению предела "e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ| f(x) - b |=|a(х)|<e, т.е. a(х) удовлетворяет определению БМ.

Достаточность. Для доказательства достаточно прочитать доказательство необходимости в противоположном порядке.

Сравнение рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
Предел функции одной переменной