Основные правила дифференцирования

Арифметические действия с пределами.

Теорема 4.4.10. Пусть функции f(x), g(x) имеют предел при х®a, С=const. Тогда имеют пределы функции С f(x), f(x)±g(x), f(x)g(x),  ( если ), и

4.4.10.1. ;

4.4.10.2. ;

4.4.10.3. ;

4.4.10.4. .

Док-во основано на теор. 4.4.9 о связи функции с её пределом. Пусть , Þ f(x)=b1+a(х), g(x)=b2+b(х), где a(х), b(х) - БМ. Тогда:

4.4.10.1. Сf(x)=Сb1+Сa(х); Сa(х) - БМ по теор. 4.4.7Þ$.

4.4.10.2. ; a(х)±b(х) - БМÞ

$.

4.4.10.3. . Выражение в квадратных скобках - БМ (теор. 4.4.3, 4.4.7, 4.4.8) Þ$.

4.4.10.4. Оценим: . В числителе стоит БМ, функция - ограничена при  (почему?) Þ$.

 С двумя функциями можно произвести ещё следующие действия: возвести f(x) в степень g(x) и взять их суперпозицию. Для степени f(x)g(x) оказывается, что если существуют конечные , , то существует , это следствие непрерывности показательной и логарифмической функций; и этот вопрос будет рассмотрен ниже. Для суперпозиции функций оказывается, что существование пределов внешней и внутренней функций недостаточно для существования предела сложной функции. Более точно, если х=g(t) имеет предел а при t® t0, функция y=f(x) имеет предел при x ® а, то  может не существовать. Пример: пусть . Очевидно, $. Пусть . $. Для последовательности точек  ; если выбрать последовательность , не попадающую в эти точки, то . Две последовательности дают разные пределыÞ не существует. Дальше мы увидим, что существование предела сложной функции обеспечивает непрерывность внешней функции.

4.4.7. Замечательные пределы.

4.4.7.1. Первый замечательный предел. Так принято называть . Докажем, что он равен единице. 1. Докажем, что sin| x |£.| x | (достаточно доказать это при х>0). Рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке О. В качестве переменной х будем брать центральный угол, отсчитываемый в радианах от радиуса ОА. Тогда длина дуги АВ =х, длина отрезка ВD =sin х, sin х< х (при х ¹0; перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до прямой). 2. Сравним площади треугольников OBА, OCA и сектора OBA: S(тр.OBА)<S(сек.OBA)<S(тр.OCA). Выразим эти площади:  (CA=tg x). Делим это выражение на : . Мы получили эти неравенства в предположении х>0, но вследствие четности входящих в них выражений они верны при любом знаке х. 3. Переворачиваем эти неравенства: . cos x®1 при х®0, предел правой части тоже равен 1, по теор. 3.4.5 о пределе промежуточной функции $.

Следствия: .

Сравнение рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
Предел функции одной переменной