Основные правила дифференцирования

Второй замечательный предел. Изучая пределы последовательностей, мы доказали, что $. Распространим это доказательство на случай действительной переменной, докажем, что . Пусть n=E(x), тогда n£ x <n+1. Если x ®+¥, то и n®¥, поэтому можем считать n >1. Из неравенства  вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим . Предел правого члена при n®¥ равен числу е, предел левого  тоже равен числу е. По теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции $, и он тоже равен числу е. Далее, , и снова применяя теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции, получаем, что  существует и равен числу е.

Пусть теперь x ®-¥. Введём новую переменную y=-x-1,тогда x=-y-1, и y®+¥ при x ®-¥. . Доказано, что односторонние пределы при x ®±¥ существуют и равныÞ(по теор. 4.4.1) $. Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале

4.4.7.2.1. Эквивалентная форма второго замечательного предела:  (сводится к предыдущему случаю заменой ).

4.4.7.3. Следствия из замечательных пределов. Рассмотрим еще несколько важных пределов.

4.4.7.3.1. . Док-во:  .

4.4.7.3.2. . Док-во:  . (Здесь мы пользуемся непрерывностью функции .) Следствие: 4.4.7.3.2.1. .

4.4.7.3.3. . Док-во: заменим переменную  .

Следствие: 4.4.7.3.3.1.

4.4.7.3.4. . Док-во: заменим переменную  .

4.4.7.3.5.

4.4.7.3.6.

Сравнение рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
Предел функции одной переменной