Основные правила дифференцирования

Сравнение поведения функций при х®а. Главная часть функции.

 Здесь мы определим символику, которая применяется в математической и технической литературе для сравнительного описания поведения функций вблизи предельной точки.

  Определения. 4.4.8.1. f(x)~g(x) (f(x) эквивалентна g(x)) при х®а, если f(x)= s(x)g(x), где s(x)®1 при х®а. Если g(x)¹0 в окрестности точки а, то f(x)~g(x), если =1.

В остальных определениях мы не будем писать х®а, но это везде подразумевается. Всё, что будет рассматриваться, верно и в случаях х®а-0, х®а+0 и т.д. В скобках будут даваться равносильные определения для случая, когда g(x)¹0 в окрестности точки а.

4.4.8.2. f(x)=О(g(x)) (О большое от g(x)), если f(x)= s(x)g(x), где s(x) ограничена в некоторой окрестности точки а. (f(x)=О(g(x)), если отношение f(x)/g(x) ограничено в окрестности точки а.)

4.4.8.3. f(x)=о(g(x)) (О малое от g(x)), если f(x)= a(x)g(x), где a(x) - БМ функция. (.)

4.4.8.4. f(x)=О(1) - функция, ограниченная в некоторой проколотой окрестности точки а.

4.4.8.5. f(x)=о(1) - БМ функция (f(x) ®0 при х®а.)

Перечислим ряд очевидных свойств введённых отношений (обязательно осмыслить!).

4.4.8.1. Если f(x)~g(x), то g(x)~f(x).

4.4.8.2. Если f(x)~g(x), g(x)~h(x), то f(x)~h(x).

4.4.8.3. Если f(x)~g(x), h(x)~s(x), то f(x)h(x)~g(x)s(x).

4.4.8.4. Если , то f(x)~L.

4.4.8.5. Если f(x)=o(g(x)), то f(x)=O(g(x)).

4.4.8.6. Если f(x)~g(x), то o(f(x))=o(g(x)).

4.4.8.7. O(O(f(x)))= O(f(x)); O(o(f(x)))= o(O(f(x)))= o(f(x)); o(o(f(x)))= o(f(x)).

4.4.8.8. g(x)(O(f(x)))= O(g(x)f(x)); g(x)(o(f(x)))= o(g(x)f(x)).

4.4.8.9. O(f(x)) O(f(x))= O(f 2(x)); O(f(x)) o(f(x))= o(f 2(x)); o(f(x)) o(f(x))= o(f 2(x)).

4.4.8.10. O(f(x))+O(f(x))= O(f(x)); O(f(x))+o(f(x))= O(f(x)); o(f(x))+o(f(x))= o(f(x)).

4.4.8.11. Из этих свойств и теоремы 4.4.10.2 о пределе разности функций следует:

f(x)~g(x)Û f(x)-g(x)=о(f(x)); f(x)~g(x)Û f(x)-g(x)=о(g(x)).

Условие f(x)~g(x)Û f(x)-g(x)=о(g(x)) можно записать так: f(x)~g(x)Û f(x)=g(x)+о(g(x)).

 Опр. 4.4.8.6. Если функцию f(x) можно представить в виде f(x)=g(x)+о(g(x)), то функция g(x) называется главной частью функции f(x).

Сравнение рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
Предел функции одной переменной